数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支.它的发展由微积分开始,并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性.这些特性,有助我们应用在对物理世界的研究,研究及发现自然界的规律. 历史上,数学分析起源于17世纪,伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的.在17、18世纪,数学分析的主题,如变分,常微分方程和偏微分方程,傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中.微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题. 贯穿18世纪,函数概念的定义成为了数学家们争论的主题.到了19世纪,柯西首先地通过引入柯西序列的概念将微积分建立在一个稳固的逻辑基础之上.他还开始了复分析的形式理论.泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析. 在那个世纪的中叶,黎曼引入了他的积分理论.在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯对于分析的算术化,他认为几何论证从本质上是一种误导,并导入了极限的(ε,δ)定义.此时,数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在.戴德金用戴德金分割构造了实数.大约在那个时候,对黎曼积分定理精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究. 另外,到处不连续函数,连续但到处不可微函数,空间填充曲线也被创造出来.在这个背景下,若尔当发展了他的测度理论,康托尔发展了现在的朴素集合论,以及贝尔证明了贝尔纲定理.在20世纪早期,微积分用公理化集合论被形式化.勒贝格解决了测度的问题,希尔伯特也导入了希尔伯特空间以解决积分方程.赋范向量空间的思想开始流传,到1920年代巴拿赫创立了泛函分析. 数学分析在当前被分为以下几个分支领域：实分析是对于实值函数的微分和积分进行形式严谨(formally rigorous)的研究.这包括对极限,幂级数和测度的研究. 泛函分析研究函数空间和介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念. 调和分析处理傅里叶级数以及其抽象. 复分析,是对从复平面到复平面的复数可微函数的研究.
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