林群(中国科学院院士、计算数学专家)
微积分之所以重要,一是奇特,一是有用。它解决生活中难题,如高铁的瞬时速度、建筑的面积,这些本属“无穷”的计算,不可能实现,但微积分却创造出奇迹,将这些“无穷”的计算变成举手之劳。
而传统教材却将此惊天成果,表达为数百的定理与公式、无尽的证明与推理,令人望而生畏。我们抓纲放细,将之归结为三把斧或三步曲:
一、关键的第一步:瞬时速度怎么算——假传万卷书,真传一案例,一本万利
以高铁为例,若车速都是相同的,则速度=,若车速在变化,要测瞬时(即每一时刻)速度,就出现,怎么算?
只能变通为,由一小段路程的平均速度,来算,因为在短时间之内,瞬时速度与平均速度相差不大(没有时间去加速太多∴速度变化不会大)。
为此,大胆设想两者之间的
差别=|平均速度-瞬时速度|,与时间长短成比例
或
差别≤时间的一个倍数
——(1)
(此情况在多例中发生,故靠得住——见后面例题。)
这时事情显得比较清楚:当时间很短,差别就很小。
二、功夫在第二步:曲边图形的面积怎么算
让(1)×时间:
|路程-瞬时速度×时间|≤(时间)2的一个倍数
——(2)
则相应会有
|路程-速度图的面积|≤(时间)2的一个倍数
——(3)
(或速度图的面积≈某一时刻速度×时间)
最后,反证法又导致基本定理
路程=速度图的面积
——(4)
由此能推出(不超四行)
三、奇特的第三步:泰勒公式,将非线性世界尽量“线性化”
以上三步,又称微积分三板斧,可译成以下三公式(5)(6)(7)。
我们提倡数学文风:先文字后符号,先解释后公式,先讲理后定理。
它表明:面积既然都写出来了,那就是存在;此外,它必等于f(x+h)-f(x),那就是唯一。
结果,油饼面积(二维)变油条高(一维),奇特、有用!
人物小传林群:1935年出生,福建连江人。中国科学院数学与系统科学研究院研究员、中国科学院院士。在计算数学,特别是微分方程的高性能解法方面,进行了长期深入研究。他热爱科普和教育......
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