有理曲面奇点计算新进展

奇点的快速准确计算是曲线曲面拓扑判定的关键，也是曲线曲面求交算法突破精度和稳定性的关键，因此奇点计算是计算几何最重要的基础问题之一。实现有理曲面奇点的快速稳定计算是计算代数与计算几何交叉领域长期以来的公开问题。近日，数学机械化实验室贾晓红研究员与中国科学技术大学陈发来教授等合作解决了该公开问题，相关工作被计算机图形学顶级期刊ACM Transactions on Graphics发表，并受邀于2023年计算机图形学国际顶级会议ACM Siggraph做全文报告。

在计算代数几何理论中，奇点可通过Groebner基或结式法进行分析。对于有理曲面的奇点计算，历史上的个别相关符号算法均未给出奇点的自然参数、难以计算尖点及孤立奇点、不能计算奇点的阶数、容易产生冗余结果、在曲面参数化具有复杂基点时失效，并且往往难以数值化。2008年，陈发来、王文平等将动曲线方法用于理曲线奇点的快速稳定计算，并提出将该方法用于奇点解消计算的猜想，贾晓红与Ron Goldman于2012年完成了该猜想的证明。然而，动曲面理论是否可类似地应用于曲面的奇点计算？该问题被代数几何学家、美国数学会会士David Cox等提出，并在2016年国际计算代数与几何建模大会（CAGM2016）被三位大会主席（Laurent Buse 、Ron Goldman、Hal Schenck）在大会综述中特别指出“仍是公开问题”。

贾晓红与陈发来等的最新工作完整解决了该公开问题，利用动平面理论，证明了有理曲面的动平面簇与曲面奇点的参数、重数之间的内蕴联系，并给出一般有理曲面奇点的参数和阶数的快速稳定算法。该算法可计算对象完整（包括所有自交线、尖线、孤立奇点及其阶数）、不产生冗余结果、在参数曲面具有复杂基点时有效，且在数值计算下稳定。进一步地，基于该奇点算法，作者对计算机图形学的三个基础问题：曲面网格化、渲染、曲面求交，突破了它们在奇点邻域内网格化错乱、渲染错误、交线分支跃迁的困难，给出了它们在奇点邻域正确、稳定的高效算法。

ACM Transactions on Graphics审稿意见认为“This is an ambitious paper with ambitious goals, and it certainly improves the state of the art in computing such singularities. ” “This paper is timely and relevant. The bottom line is to accept it.”

参考文献：